Félegész számok

A matematikában a félegészek olyan számok, amelyek formája

$n+1/2$,

ahol az $n$ egész szám. Például

4½, 7/2, ‒13/2, 8,5

valamennyi félegész szám. Megjegyzendő, hogy egy egész szám fele nem feltétlenül félegész szám: a páros számok fele egész szám, nem pedig félegész. Pontosan fogalmazva, a félegészek olyan számok, amelyek páratlan számok feleként állnak elő.

A félegész számok halmazára gyakran a következő jelölést használják:

$\mathbb {Z} +{1 \over 2}.$

A diadikus törtek (a nevező 2 hatványa) speciális esete.

Használat

• Az egészekkel együtt csoportot alkotnak az összeadásra. Ezt a csoportot ${\frac {1}{2}}\mathbb {Z}$ jelöli. Azonban, mivel két félegész szám szorzata nem egész, vagy félegész, ezért a szorzásra és az összeadásra nem alkotnak gyűrűt.

A félegész számok a matematika több területén előfordulnak, ezért célszerű volt speciális kifejezést bevezetni rájuk.

• A részecskefizikában a fermionok spinje félegész értékű. Ennek következménye a Pauli-féle kizárási elv.
• A kvantum harmonikus oszcillátor energiaszintjei félegészek, így a legkisebb energiájuk nem lehet nulla.
• Az algebrában a Hurwitz-egészek olyan kvaterniók, amelynek a komponensei vagy valamennyi egész, vagy valamennyi félegész szám.
• Négy dimenzióban a legsűrűbb gömbpakolásban a gömbök középpontjai azokat a pontokat foglalják el, amelyek minden koordinátája egész vagy félegész. Ez a Hurwitz-egészekkel áll kapcsolatban.
• A rácssokszögek területe egész vagy félegész szám.
• A faktoriális kiterjesztése a teljes gamma-függvény. Ennek értéke félegész számokra a gömbtérfogat képletében is megjelenik:

$V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}.$

ahol n a dimenzió, és R a gömb sugara.

• Félegész számokra a gammafüggvény értéke négyzetgyök π egész számú többszöröse:

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}$

ahol n!! szemifaktoriális (dupla faktoriális).